عدد صفر
صفر نشان دهنده‌ی عدم وجود است. ضمن این که صفر یک عنصر ضروری از سیستم اعداد به شمار می‌آید. صفر در واقع کمک می‌کند تا تفاوت نوشتاری اعداد یک رقمی با اعداد چند رقمی مشخص شود. به همین دلیل است که ما به راحتی فرق ۲ دلار با ۲۰ دلار را متوجه می‌شویم.
صفر به خودی خود عدد بسیار مهمی در ریاضی است. چرا که "هویت افزودنی" دارد و با هر عددی که جمع شود حاصل، خود آن عدد می‌شود. این ویژگی صفر، به آن نوعی مرکزیت در حساب و جبر بخشیده است. از این رو صفر دقیقا در وسط محور اعداد قرار می‌گیرد تا اعداد مثبت و منفی را از هم جدا کند و نقطه‌ی شروعی برای ساخت سیستم اعداد در نظر گرفته شود.
عدد یک
در حالی که صفر هویت افزودنی دارد، عدد یک دارای هویت مضربی است. به این شکل که حاصل ضرب هر عدد در یک، خود آن عدد است. برای ادامه‌ی محور اعداد نیاز به عدد یک داریم که باقی اعداد را با جمع یک به آن اضافه کنیم. در حالت خاص، می‌توان اعداد طبیعی را مثال زد که از یک شروع می‌شود و به ترتیب ۲ و ۳ و ۴ تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنند. اعداد طبیعی، اساسی‌ترین اعداد ما هستند. به طوری که با استفاده از آن‌ها اشیا و اشخاص را شمارش می‌کنیم. ضمن این که می‌توانیم با آن‌ها حساب و کتاب انجام دهیم. چنانچه یک عدد طبیعی را با یک عدد طبیعی دیگر جمع یا در آن ضرب کنیم، حاصل باز هم یک عدد طبیعی خواهد بود. البته در مورد تفریق و تقسیم، گاهی این حالت برقرار است.
منفی یک
همیشه تفریق دو عدد طبیعی برابر با یک عدد طبیعی نیست. از این رو اعداد طبیعی پاسخگوی تمام محاسبات نیستند و برای تفریق عبارتی مثل ۸-۳ جوابی ندارند. یکی از جنبه‌های فوق‌العاده‌ی دنیای ریاضی این است که هرگاه با محدودیتی روبرو شویم می‌توانیم با گسترش سیستم اعداد، آن محدودیت را از بین ببریم. از این رو با افزودن عدد ۱- ، اعداد منفی شکل خواهند گرفت.
ضمن این که با حاصل ضرب ۱- در دامنه‌ی اعداد مثبت، نسخه‌ی منفی آن‌ها تشکیل خواهد شد. علاوه بر این، اعداد منفی محدودیت در تفریق را هم بر طرف می‌کنند. به طوری حاصل ۸-۳ عدد ۵- می‌شود. بنابراین مجموعه‌ای از اعداد مثبت، صفر و منفی خواهیم داشت که امکان تفریق تمام اعداد این مجموعه را فراهم می‌کنند. اعداد منفی در نشان دادن کم و کسری مفید هستند. برای مثال وقتی ۵۰۰ دلار به بانک بدهکار باشید، تراز بانکی شما ۵۰۰- دلار است. همچنین این اعداد در گزارش کمیت‌های فیزیکی مانند دمای زیر صفر هم کاربرد دارند.
عدد یک دهم
با وجود اعداد صحیح، باز هم مجموعه‌ی اعداد مورد نیاز ناقص است. درست است که دیگر در جمع و تفریق محدودیتی مشاهده نمی‌شود اما در ضرب و تقسیم آزادی عمل نداریم. برای مثال نمی‌توانیم حاصل دقیق ۵÷۸ را محاسبه کنیم. برای رویارویی با این حالت محور اعداد را به مقادیر ۱/۱۰ یا ۰.۱ تقسیم بندی می‌کنیم. به وسیله‌ی ۰.۱ و توان‌های بالاتر آن مثل ۰.۰۱، ۰.۰۰۱، ۰.۰۰۰۱ وغیره می‌توان کسر اعشاری حاصل را نمایش داد.
تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگر (به جز تقسیم بر صفر) به یک عدد ده دهی خاتمه پیدا می‌کند. برای مثال حاصل ۵÷۸ برابر با ۱.۶ است. یا حاصل ۳÷۱ برابر ...۰.۳۳۳۳۳۳۳ است که رقم اعشاری ۳ تا بی نهایت ادامه خواهد داشت.
این نوع از اعداد که ارقام اعشاری آن‌ها به مقداری معلوم خاتمه پیدا می‌کند یا الگوی مشخصی دارد، اعداد گویا هستند که نسبت دو عدد صحیح را نشان می‌دهند. در عملیاتی چون جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد گویا با یکدیگر، عدد حاصل هم یک عدد گویا است.
از طرفی اعداد گویا اجازه می‌دهند که مقادیر بین اعداد صحیح یا مقادیر کسری قابل بیان باشند. به همین خاطر ۴ نفر دوست می‌توانند یک کیک را به چهار قسمت مساوی بین خود تقسیم کنند و سهم هر کدام ۱/۴، ۰.۲۵ یا ۲۵ درصد از کل کیک محاسبه شود. در واقع اعداد گویا کمک می‌کنند تا فضای بین عددهای صحیح در محور اعداد پر شود.
جذر عدد ۲
جذر دوم یک عدد، رقمی است که وقتی در خودش ضرب می‌شود، خود عدد را به عنوان پاسخ ارایه می‌دهد. برای مثال جذر دوم عدد ۹ برابر با ۳ است. چرا که: ۹=۳*۳. می‌توان جذر هر عدد مثبت را در ریاضی پیدا کرد. البته در این میان تعداد کمی استثنا وجود دارد که جذر آن یک عدد گویا به دست نمی‌آید.
جذر عدد ۲ یکی از این استثناها است. جذر ۲ یک عدد گنگ است که در مقدار دسیمال آن هیچ الگوی مشخصی وجود ندارد. حاصل جذر ۲ رقمی به این شکل است: ... ۱.۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳۷ که ارقام بعد از اعشار، عجیب و غریب و تصادفی به نظر می‌رسند.
حتی گاهی جذر گویاترین اعداد، اعداد گنگ است. البته استثناهایی مانند ۹ وجود دارند که مربع کامل نامیده می‌شوند. ریشه‌های مربع در مبحث جبر اهمیت زیادی دارند و راه حل بسیاری از معادلات به حساب می‌آیند. برای مثال جذر عدد ۲ پاسخ معادله‌ی x2 = 2 است.
با قرار دادن اعداد گویا در کنار اعداد گنگ، محور اعداد ما کامل خواهد شد. به این صورت، به طیف گسترده‌ی مجموعه‌ی این اعداد، اعداد حقیقی گفته می‌شود و این اعداد اغلب در تمام شیوه‌های محاسباتی کاربرد دارند. +حالا که محور اعداد ما تکمیل شد، می‌توانیم سراغ بررسی دیگر اعداد گنک برویم.
عدد پی (π)
عدد π، معادل نسبت محیط دایره به قطر آن است که می‌توان آن را مهم‌ترین عدد در هندسه در نظر گرفت. عدد π در هر فرمولی که شامل سطح دایره‌ای یا کروی باشد حضور دارد. برای مثال مساحت دایره با شعاع r با رابطه‌ی πr2 محاسبه می‌شود و این رابطه برای محاسبه‌ی حجم کره با شعاع r معادل (4/3)πr3 لست.
ضمن این که عدد π یکی از اعداد برجسته در توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس هم به حساب می‌آید. در اینجا عدد π نشان می‌دهد که به ازای هر واحد 2π، تابع دوباره تکرار می‌شود. توابع مثلثاتی با کمک عدد π، نشان دهنده‌ی تناوب و تکرار هستند و در توصیف معادلاتی چون امواج صوتی به کار برده می‌شوند. عدد π مانند جذر ۲، گنگ بوده و بسط دسیمال آن نه پایان پیدا می‌کند و نه روند تکرار مشخصی دارد. چند رقم اول این عدد برای اکثر ما آشنا است: ...۳.۱۴۱۵۹
ریاضی‌دان‌ها با استفاده از کامپیوترهای خیلی بزرگ توانستند ۱۰ تریلیون رقم اول اعشار عدد π را پیدا کنند. هر چند که اغلب برای انجام محاسبات، تنها به چند رقم اول اول اکتفا می‌شود.
عدد اویلر (e)
عدد اویلر، e اساس کار توابع نمایی است. توابع نمایی بیان‌گر فرآیندهایی هستند که در یک دوره‌ی زمانی به یک مقدار چند برابر یا نصف می‌رسند. برای مثال فرض کنید که دو خرگوش نر و ماده دارید. پس از یک ماه ۴ خرگوش خواهید داشت. پس از دو ماه ۸ خرگوش و پس از سه ماه این تعداد به ۱۶ خرگوش خواهند رسید. به طور کلی تعداد خرگوش‌ها پس از n ماه 2n+1 عدد است.
e در اینجا یک عدد گنگ است که معادل آن ...۲.۷۱۸۲۸ می‌شود و مانند دیگر اعداد گنگ، ارقام پس از اعشار آن از هیچ روند مشخصی پیروی نمی‌کنند. ex یک تابع نمایی طبیعی است که پایه و اساس معادلات نمایی را تشکیل می‌دهد.
اعداد گنگ
علت خاص بودن ex کمی پیچیده است. در حساب دیفرانسیل و انتگرال مشاهده کرده‌اید که مشتق ex معادل ex است. به این معنا که برای یک مقدار مشخص x مقدار ex را داریم و ارزش تابع در هر نقطه با نرخ آن در همان نقطه برابری می‌کند. همین ویژگی، ex را در میان توابع، منحصر به فرد ساخته است و باعث شده است تا کاربردهای مفیدی در ریاضیات از خود نشان دهد.
ex در اکثر فرآیندهای نمایی کاربرد دارد. یکی از رایج‌ترین کاربردهای ex محاسبه‌ی بهره‌ی مرکب است. به این ترتیب چنانچه سرمایه‌ی اصلی P، نرخ سود سالانه r باشد ارزش سرمایه گذاری پس از گذشت t سال با این فرمول محاسبه می‌شود: A = P*ert
ریشه‌ی ۱-=i
به موضوع جذر اعداد مثبت اشاره کردیم. اما باید دید در مورد جذر اعداد منفی چگونه می‌توان عمل کرد. جذر اعداد منفی، در محدوده‌ی اعداد حقیقی تعریف ندارد. همان‌طور که می‌دانیم ضرب دو عدد منفی یک عدد مثبت است. از این رو نمی‌توان انتظار داشت که ریشه دوم یک عدد، رقمی منفی باشد. اما قبلا مشاهده کردیم که با گسترش سیستم اعداد می‌توان محدودیت‌های موجود را رفع کرد.
پس برای پیدا کردن ریشه‌ی ۱- چه باید کرد؟
در اینجا یک واحد موهومی به نام i را تعریف می‌کنیم تا جمع، تفریق، ضرب و تقسیم گروه دیگری از اعداد را معنادار سازد. این نوع از اعداد، اعداد مختلط نام گرفتند. اعداد مختلط خواصی عجیب و کاربردی از خود نشان می‌دهند. از آنجا که می‌توان اعداد حقیقی را بر روی یک محور افقی نشان دهیم، اعداد مختلط هم بر روی یک صفحه قابل نمایش هستند. از این رو محور عمودی میتواند بیان گر جزو مختلط یک عدد حقیقی باشد.
هندسه‌ی اعداد مختلط نتایج شگفت انگیز و زیبایی به همراه دارند و کاربردهای آن‌ها در الکتریسیته و مهندسی برق قابل مشاهده است.
